4.2.1 METODO DE LOS OPERADORES

Un operador es un objeto matem atico que convierte una funci on en otra, por ejemplo, el operador

derivada convierte una funci on en una funci on diferente llamada la funci on derivada. Podemos

de nir el operador derivada

D que al actuar sobre una funci on diferenciable produce la derivada

de esta, esto es:

D

0f(x) = f(x) ; D1f(x) = f0(x) ; D2f(x) = f00(x) ; : : : ;Dnf(x) = f(n)(x) :

Es posible construir la siguiente combinaci on lineal con los operadores diferenciales:

P

(D) = a0 + a1D + a2D2 + + anDn ; an 6= 0 : (1)

donde

a2; a1; a2; : : : an son constantes. A este nuevo objeto lo podemos llamar el Operador Polinomial

de orden

n.

Por otro lado, recordemos que una ecuacion diferencial lineal de orden

n con coe cientes constantes

es una ecuacion de la forma A

ny(n) + an􀀀1y(n􀀀1) + + a2y00 + a1y0 + a0y = Q(x) ; (3)

por lo tanto, (

3) se puede escribir de una manera compacta como

P

(D)y = Q(x) : (4)

El operador polinomial es lineal, esto signi ca que tiene las siguientes propiedades

Si

f1(x) y f2(x) son dos funciones diferenciables de orden n, entones

P

(D) [
f1(x) + f2(x)] =
P(D)f1(x) + P(D)f2(x)

donde

y son constantes. Adem as:

Si

y1(x); y2(x); : : : ; yn(x) son n soluciones de la ecuaci on diferencial homog enea P(D)y = 0

entonces

yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + + Cnyn(x) es tambi en una soluci on.

Si

yh(x) es una soluci on de P(D)y = 0 y yp(x) es una soluci on de P(D)y = Q(x) entonces

y

(x) = yh(x) + yp(x) es una soluci on de P(D)y = Q(x).