Aplicaciones de los Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales encuentran sus
aplicaciones en varios problemas que surgen en el sistema del mundo real.
Algunos de estos problemas se discuten a continuación.
1. Problema mecánico del acoplamiento de los resortes: Dos cuerpos
con masa m1, m2, respectivamente, yacen sobre una mesa. La mesa está libre de
fricción. Los dos cuerpos están conectados entre sí con la ayuda de un resorte.
Esteresorte está en una posición no estirada. También cada uno de estos cuerpos
está conectado a una superficie estática con la ayuda de los resortes. Una vez
más, estos resortes no están estirados. La constante elástica de cada uno de los
resortes es k1, k2, k3, respectivamente. La situación anterior puede ilustrarse
como,
Aquí O1 es la posición inicial del primer cuerpo y O2 es la
posición inicial del segundo cuerpo. Los cuerpos pueden ser cambiados de su
posición de equilibrio mediante mover cualquiera delos cuerpos en cualquier
dirección y luego soltarlos. Unejemplo de estoes,
En la figura anterior, x1 es la cantidad de distancia recorrida por
el primer cuerpo cuando este se mueve desde la posición de equilibrio y x2 es la
cantidad de distancia recorrida por el segundo cuerpo cuando este se mueve desde
la posición de equilibrio. Esto implica que el primer resorte se alarga desde la
posición estática por una distancia de x1 y el segundo resorte se alarga desde
la posición estática por una distancia de x2 – x1.Esto implica que dos fuerzas
restauradoras están actuando sobre el primer cuerpo, estas son:
• La fuerza del primer resorte la cual actúa en dirección
izquierda. Esta fuerza por la ley de Hookes igual ak1×1.
• La fuerza del segundo resorte que actúa en dirección derecha.
Esta fuerza es igual a k2(x2 – x1).
Esto nos da la ecuación del movimiento,
De manera similar, la ecuación del movimiento para el segundo cuerpo es,
Las dos ecuaciones anteriores forman un sistema de ecuaciones
diferenciales lineales de segundo orden y pueden resolverse mediante el uso de
las técnicas de solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden.
2. Problemas eléctricos: Muchos de los circuitos eléctricos pueden
ser reducidos para solucionar un sistema de ecuaciones diferenciales. Sea un
circuito eléctrico dado como,
Ahora, mediante la aplicación de Kirchhoff se tiene la ecuación del
flujo de corriente en un nodo como,
Esta ecuación puede ser reducida como,
De manera similar, la ecuación del flujo de corriente del nodo dos
se da como,
Esta ecuación puede ser reducida como,
Ahora, aplicando la ley de Kirchoff a la parte izquierda del
circuito dado. Por lo tanto tenemos,
Del mismo modo, mediante la aplicación de la ley de Kirchoff a la
parte derecha del circuito dado obtenemos,
Ahora, diferencia lasdos últimas ecuaciones para obtener el sistema
de ecuaciones como,
Las ecuaciones anteriores pueden ser resueltas para las variables
i1, i2y el valor de la variable i puede determinarse con la ayuda de estas dos
variables. Un punto importante a mencionar es que pueden existir más que
ecuaciones para el ejemplo anterior. Por ejemplo, una de las ecuaciones puede
ser,
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