Los problemas de la vida real pueden representarse de mejor manera
con la ayuda de múltiples variables. Por ejemplo, piensaen el conteo de la
población representado con la ayuda de una sola variable. Pero, esta depende del
conteo de la población de depredadores así como también de las condiciones
climáticas y la disponibilidad de alimentos. Todas estas condiciones en sí
mismas forman una ecuación diferente definida en una variable separada.
Por lo tanto, para estudiar las relaciones complejas, requerimos de
varias ecuaciones diferentes para definir diferentes variables. Tal sistema es
el sistema de ecuaciones diferenciales. Un sistema de ecuaciones diferenciales
lineales se puede denotar como,
Aquí xi (t) es una variable en términos de tiempo y el valor de i =
1, 2, 3, …, n. También A es una matriz que contiene todos los términos
constantes, como [ai,j].
Dado que los coeficientes de la matriz constante A no están
definidos explícitamente en términos de tiempo, por lo tanto, un sistema de
ecuaciones diferenciales lineales es llamadoa veces autónomo. La notación
convencional general para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales
es,
dx/ dt = f(t, x, y)
dy/ dt = g(t, x, y)
El sistema anterior de ecuaciones diferenciales tendrá numerosas
funciones para satisfacerla. Mediante la modificación de la variable tiempo
obtendremos un conjunto de puntos que se encuentran en el plano de dos
dimensiones x-y, los cuales se denominan trayectoria. La velocidad con respecto
a esta trayectoria, en algún tiempo t es,
= (dx/ dt, dy/ dt)
Un ejemplo de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es el
siguiente,
dx1/ dt = −4×1 + 2×2
dx2/ dt = 0×1 + −2×2
Con el fin de determinar el conjunto completo de fórmulas para la
variable dependiente de tiempo xi(t) para todos los valores de i, es necesario
obtener primero los vectores propios y valores propios de la matriz constante A.
En el caso que la matriz constante A posea un conjunto de valores propios
repetidos para sus componentes, sería necesarioun vector propio
generalizado.
Este es t, toma en cuenta que los vectores propios y valores
propios de la matriz constante puede ser un subconjunto de los números reales o
también un subconjunto de los números complejos.
La representación de la matriz del problema anterior es la
siguiente, dx/ dt = A * x
En este caso, A es la matriz constante que puedeserrepresentada
como,
A =
Y x(t)T es un vector de variables definidas en términos de tiempo,
el cual es representado como,
x(t)T =
dx/ dt =
En caso de que el vector propio de la matriz constante A sea un
subconjunto de los números reales para este ejemplo, podemos escribir,
A = S * D * S-1
Aquí D es la matriz diagonal de la matriz de vectores propios de la
matriz constante A y S es la matriz que contiene los vectores propios en forma
de columnas, en el mismo orden como los valores propios se escriben en la matriz
diagonal D.
En consecuencia, la forma de la matriz del ejemplo anterior se
puede escribir como,
dx/ dt = A * x
dx1/ dt
dx2/ dt = −4 2
0 −4 * x1
x2
Al igual que en una ecuación diferencial ordinaria, un sistema de
ecuaciones diferenciales lineales también pueden formar un problema de valor
inicial donde se dan varias condiciones iniciales.
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